Сообщения
kozhanovan и
aamonster. На самом деле нужные слова первым мне привел
aamonster, но в тот момент я еще не понял. А вот когда
kozhanovan упомянул волшебные слова "независимые случайные величины" у меня в голове щелкнуло. (Ох уж эти математики, вечно им какие-то непонятные слова нужны, чтобы объяснить простые вещи.)
Сейчас попробую расписать в чем суть дела. Последовательно отвечу на каждый из своих прежних аргументов.
[cut]
Моя основная ошибка в том, что я пытался выбросить ведущего из рассмотрения. В нем-то и вся загвоздка. Я не знаком с такой викториной, где есть три двери и не знаю ее правил. Потому, видимо, от меня ускользнули некоторые условия из постановки задачи.
Положим правила такими.
1) Игрок выбирает одну из трех альтернатив (А, Б или В).
2) Затем ведущий обязательно открывает одну дверь. Причем он знает, где находится приз, и открывает одну из тех, где пусто, но не ту, которую уже выбрали.
3) У игрока есть возможность выбирать заново.
При наличии всех трех пунктов игроку действительно по теории вероятности стоит на третьем шаге всегда менять свое решение, поскольку тогда его шансы удваиваются.
Почему?
Основной момент именно в знании ведущего, где лежит приз. Если вы угадали дверь с первой попытки (вероятность 33%), тут все просто, он открывает любую. А вот если вы промохнулись (вероятность 66%), то становится интереснее. За какой бы из двух оставшихся дверей не находился приз, ведущий вынужден открыть вторую из них.
То есть у нас с самого начала есть 33%, что приз за дверью Б, и 33%, что приз за В.
В первом из этих случаев ведущий вынужден открыть дверь В, так как первую уже выбрал игрок, а за второй приз. Аналогично, во втором случае открыта будет дверь Б. Вот и получается, что и те, и другие 33% второй и третей дверей никуда не девались и никому не передались, а остались у них. Только вот мы наверняка знаем, что в каждом из этих двух случаев невыбранной некоткрытой останется именно выигрышная дверь. Что и требовалось показать.
* * *
Теперь пойдем математически, посчитаем вероятности.
Пусть игрок изначально выбрал дверь А. Какие у нас могут быть варианты события в тот момент, когда открыта одна из дверей?
>X1 = 1/6 (А Б) | 1/3*1/2 ( < Вероятность, что приз за первой (А) дверью >*< вероятность открытия ведущим второй (Б) двери > ) |
>X2 = 1/6 (А В) | 1/3*1/2 (< Вероятность, что приз за первой (А) дверью > * < вероятность открытия ведущим третей (В) двери >) |
>Y = 1/3 (Б В) | 1/3*1 (< Вероятность, что приз за второй (Б) дверью >*< вероятность открытия ведущим двери В >) |
>Z = 1/3 (В Б) | 1/3*1 (< Вероятность, что приз за третьей (В) дверью >*< вероятность открытия ведущим двери Б >) |
Из такой раскладки становится видно, что вероятность нахождения выигрыша за дверью А = X1+X2 = 1/3, в то время как в случаях Y и Z выигрыш находится за другой не открытой дверью, будь это Б или В. Суммарная вероятность Y и Z в два раза выше.
* * *
Теперь про мои ошибки. Распихиваю себя по полочкам.
> Почему после получения новой информации нам не нужно пересчитывать вероятность двери "один"?
Тут все верно. Вероятности пересчитать можно. Если пересчитать, как указано выше, все становится на свои места.
> Если вероятности не пересчитывать, почему 33% двери "два" перейдут третьей двери, а не исчезнут вместе возможностью ее выбора?
А потому, что мы не выбрасываем ни одной двери и ничего никуда не переходит. Двери мы учитываем по прежнему три. а) 33% вероятность, что приз все-таки за первой дверью; б) 33%, что приз за второй и открыли третью; и в) 33%, что приз за третей, а открыли вторую. Таким образом все вероятности сохранились, только оба случая б) и в) говорят в пользу изменения выбора.
> Допустим вы хотите купить зеленые вельветовые штаны со стразами...
В примере с магазином есть одно очень важное отличие, от виктрины. А именно то самое знание ведущего, которое играет ключевую роль. Подруга, которая случайно заехала в магазин Б не знала заранее, что там будут или не будут нужные мне штаны. Она просто мимо пробегала.
Так и если бы ведущий викторины не знал, где находится приз и случайно ткнул в любую из двух (невыбранных) дверей, вероятность для нас была бы равной. Правда возникает еще возможность того, что ведущий случайно угадал. И в этом случае игра закончится и повторного выбора просто не будет.
> Весь фокус приведенного в фильме рассуждения в том, что выбрать одну из дверей нужно заранее, а потом менять или не менять мнение.
> Магия возникает между выбором и последствиями. Фокус в том, что мы выбрали дверь исходя из вероятности, но почему-то не открыли. И здесь ошибка. Выбрать, но не открыть...
В этом месте я сам нахожу главный момент, о который спотыкаются рассуждения. Оно же моя главная и явная ошибка, если понимать.
Я рассуждал в том смысле, что выбора на самом деле мы не делали, что он существует только на словах и ни на что не влияет. А тогда вероятности меняться не из-за чего. На самом деле это не так.
Наш выбор был сделан и значительно влиял на происходящее. А именно на действия ведущего. Получив наш выбор, он частично теряет свободу — теряет возможность открывать выбранную нами дверь. Вот оно! Именно этот факт заставляет нас учитывать ранее сделанный выбор и переоценивать двери.
Вроде все. В фильме все-таки говорят по этому поводу правду. Ну, все равно дурацкий фильм :Р
[/cut]
Остальные аргументы, вроде выбора из ста дверей вместо трех, или привлечение в задачу коз, на мой взгляд, шелуха и только отвлекают от сути.
* * *
Спасибо всем, принявшим участие в обсуждении. Почаще бы находить поводы для таких дискуссий.
P.S.
Я тут наезжал на окружающих на счет способности объяснять, так что рассчитываю на самую дотошную критику по степени понятности. Даже если вы совсем ничего не понимаете в математике и теории вероятности в частности, я хочу вам объяснить. Если что-то не понятно, отметьтесь в комментариях и постараюсь придумать более общедоступное объяснение.
Оригинал поста
Комментариев нет:
Отправить комментарий